Finite-dimensional subalgebras in polynomial Lie algebras of rank one

Let Wn(K) be the Lie algebra of derivations of the polynomial algebra K[X] := K[x1, . . . , xn] over an algebraically closed field K of characteristic zero. A subalgebra L ⊆ Wn(K) is called polynomial if it is a submodule of the K[X]-module Wn(K). We prove that the centralizer of every nonzero element in L is abelian provided that L is of rank one. This fact allows to classify finite-dimensional subalgebras in polynomial Lie algebras of rank one.Нехай Wn(K) — алгебра Лi диференцiювань полiномiальної алгебри K[X] := K[x1, . . . , xn] над алгебраїчно замкненим полем K характеристики нуль. Пiдалгебра L ⊆ Wn(K) називається полiномiальною, якщо вона є пiдмодулем K[X]-модуля Wn(K). Доведено, що централiзатор кожного ненульового елемента з L є абелевим у випадку, коли L має ранг 1. Це дає можливiсть класифiкувати скiнченновимiрнi пiдалгебри полiномiальних алгебр Лi рангу 1

Closed polynomials and saturated subalgebras of polynomial algebras

The behavior of closed polynomials, i.e., polynomials f∈k[x₁,…,xn]∖k such that the subalgebra k[f] is integrally closed in k[x₁,…,xn], is studied under extensions of the ground field. Using some properties of closed polynomials, we prove that, after shifting by constants, every polynomial f∈k[x₁,…,xn]∖k can be factorized into a product of irreducible polynomials of the same degree. We consider some types of saturated subalgebras A⊂k[x₁,…,xn], i.e., subalgebras such that, for any f∈A∖k, a generative polynomial of f is contained in A.Досліджено поведінку замкнених поліномів, тобто таких поліномів f∈k[x₁,…,xn]∖k, що пiдалгебра k[f] є інтегрально замкненою в k[x₁,..., xn], у випадку розширень основного поля. З використанням деяких властивостей замкнених поліномів доведено, що кожен поліном f∈k[x₁,…,xn]∖k після зсувів на константи може бути розкладений у добуток незвідних поліномів одного й того ж степеня. Розглянуто деякі типи насичених підалгебр A⊂k[x₁,…,xn], тобто таких алгебр, що для будь-якого f∈A∖k породжуючий поліном для f міститься в A

Counting and computing regions of DD-decomposition: algebro-geometric approach

New methods for $D$-decomposition analysis are presented. They are based on topology of real algebraic varieties and computational real algebraic geometry. The estimate of number of root invariant regions for polynomial parametric families of polynomial and matrices is given. For the case of two parametric family more sharp estimate is proven. Theoretic results are supported by various numerical simulations that show higher precision of presented methods with respect to traditional ones. The presented methods are inherently global and could be applied for studying $D$-decomposition for the space of parameters as a whole instead of some prescribed regions. For symbolic computations the Maple v.14 software and its package RegularChains are used.Comment: 16 pages, 8 figure

Geodesic flows on Riemannian g.o. spaces

We prove the integrability of geodesic flows on the Riemannian g.o. spaces of compact Lie groups, as well as on a related class of Riemannian homogeneous spaces having an additional principal bundle structure.Comment: 12 pages, minor corrections, final versio